РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2193 Добавить в вариант

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 5\.2\. Неравенства первой и второй степени относительно логарифмических функций

Логарифмические неравенства

Найдите произведение наибольшего целого решения на количество всех натуральных решений неравенства $логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка .$

Решение. Последовательно получаем:

$логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 17 минус x больше 0, логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше 17, логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0. конец системы .$

Решим уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка = 0:$

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка = 0 равносильно 17 минус x=1 равносильно x = 16.$

Решим уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка минус 1 = 0:$

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка = 1 равносильно$
$равносильно 17 минус x = 5 равносильно x = 12.$ $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка = 1 равносильно$
$равносильно 17 минус x = 5 равносильно x = 12.$

Применим метод интервалов:

Неравенство имеет 13 натуральных решений, наибольшее целое решение  — 16. Искомое произведение равно $13 умножить на 16 = 208.$

Ответ: 208.

Ответ: 208

2193

208

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 5\.2\. Неравенства первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2193	208